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复数的加法与减法

2005年11月10日 来源:网友提供 作者:未知 字体:[ ]

教学目标

   (1)掌握复数加法与减法运算法则,能熟练地进行加、减法运算;

  (2)理解并掌握复数加法与减法的几何意义,会用平行四边形法则和三角形法则解决一些简单的问题;

  (3)能初步运用复平面两点间的距离公式解决有关问题;

  (4)通过学习平行四边形法则和三角形法,培养学生的数形结合的数学思想;

  (5)通过本节内容的学习,培养学生良好思维品质(思维的严谨性,深刻性,灵活性等).


教学建议

一、知识结构

二、重点、难点分析

  本节的重点是复数加法法则。难点是复数加减法的几何意义。复数加法法则是教材首先规定的法则,它是复数加减法运算的基础,对于这个规定的合理性,在教学过程中要加以重视。复数加减法的几何意义的难点在于复数加减法转化为向量加减法,以它为根据来解决某些平面图形的问题,学生对这一点不容易接受。

三、教学建议

  (1)在复数的加法与减法中,重点是加法.教材首先规定了复数的加法法则.对于这个规定,应通过下面几个方面,使学生逐步理解这个规定的合理性:①当 时,与实数加法法则一致;②验证实数加法运算律在复数集中仍然成立;③符合向量加法的平行四边形法则.
  (2)复数加法的向量运算讲解设 ,画出向量 后,提问向量加法的平行四边形法则,并让学生自己画出和向量(即合向量) ,画出向量 后,问与它对应的复数是什么,即求点Z的坐标OR与RZ(证法如教材所示).
  (3)向学生介绍复数加法的三角形法则.讲过复数加法可按向量加法的平行四边形法则来进行后,可以指出向量加法还可按三角形法则来进行:如教材中图8-5(2)所示,求 的和,可以看作是求 的和.这时先画出第一个向量 ,再以 的终点为起点画出第二个向量 ,那么,由第一个向量起点O指向第二个向量终点Z的向量 ,就是这两个向量的和向量.
  (4)向学生指出复数加法的三角形法则的好处.向学生介绍一下向量加法的三角形法则是有好处的:例如讲到当 在同一直线上时,求它们的和,用三角形法则来解释,可能比“画一个压扁的平行四边形”来解释容易理解一些;讲复数减法的几何意义时,用三角形法则也较平行四边形法则更为方便.
  (5)讲解了教材2后,应强调 (注意:这里 是起点, 是终点)就是同复数 对应的向量.点 之间的距离 就是向量 的模,也就是复数 的模,即

  例如,起点对应复数-1、终点对应复数 的那个向量(如图),可用 来表示.因而点 )点间的距离就是复数     的模,它等于

 

教学设计示例

复数的减法及其几何意义

      教学目标

  1.理解并掌握复数减法法则和它的几何意义.

  2.渗透转化,数形结合等数学思想和方法,提高分析、解决问题能力.

  3.培养学生良好思维品质(思维的严谨性,深刻性,灵活性等).

教学重点和难点

  重点:复数减法法则.

  难点:对复数减法几何意义理解和应用.

教学过程设计

(一)引入新课

  上节课我们学习了复数加法法则及其几何意义,今天我们研究的课题是复数减法及其几何意义.(板书课题:复数减法及其几何意义)

(二)复数减法

  复数减法是加法逆运算,那么复数减法法则为( + i)-( + i)=( - +( - i,

1.复数减法法则

  (1)规定:复数减法是加法逆运算;

  (2)法则:( + i)-( + i)=( - +( - i( R).

  把( + i)-( + i)看成( + i)+(-1)( + i)如何推导这个法则.

+ i)-( + i)=( + i)+(-1)( + i)=( + i)+(- - i)=( - +( - i.

  推导的想法和依据把减法运算转化为加法运算.

  推导:设( + i)-( + i)= + i( R).即复数 + i为复数 + i减去复数 + i的差.由规定,得( + i)+( + i)= + i,依据加法法则,得( + +( + i= + i,依据复数相等定义,得

  故( + i)-( + i)=( - +( - i.这样推导每一步都有合理依据.

  我们得到了复数减法法则,两个复数的差仍是复数.是唯一确定的复数.

  复数的加(减)法与多项式加(减)法是类似的.就是把复数的实部与实部,虚部与虚部分别相加(减),即( + i)±( + i)=( ± +( ± i.

(三)复数减法几何意义

  我们有了做复数减法的依据——复数减法法则,那么复数减法的几何意义是什么?
  设z= + i( R),z1= + i( R),对应向量分别为 如图

  由于复数减法是加法的逆运算,设z=( - +( - i,所以z-z1=z2z2+z1=z,由复数加法几何意义,以 为一条对角线, 1为一条边画平行四边形,那么这个平行四边形的另一边 2所表示的向量OZ2就与复数z-z1的差( - +( - i对应,如图.

  在这个平行四边形中与z-z1差对应的向量是只有向量 2吗? 

  还有 . 因为OZ2 Z1Z,所以向量 ,也与z-z1差对应.向量 是以Z1为起点,Z为终点的向量.

  能概括一下复数减法几何意义是:两个复数的差z-z1与连接这两个向量终点并指向被减数的向量对应.

(四)应用举例

  

  

  在直角坐标系中标Z1-2,5),连接OZ1,向量 1与多数z1对应,标点Z23,2),Z2关于x轴对称点Z23,-2),向量 2与复数对应,连接,向量的差对应(如图).

  例2 根据复数的几何意义及向量表示,求复平面内两点间的距离公式.

  解:设复平面内的任意两点Z1Z2分别表示复数z1z2,那么Z1Z2就是复数对应的向量,点之间的距离就是向量的模,即复数z2-z1的模.如果用d表示点Z1Z2之间的距离,那么d=|z2-z1|.

  例3  在复平面内,满足下列复数形式方程的动点Z的轨迹是什么.

  (1)|z-1-i|=|z+2+i|;

  方程左式可以看成|z-(1+i)|,是复数Z与复数1+i差的模.

  几何意义是是动点Z与定点(1,1)间的距离.方程右式也可以写成|z-(-2-i)|,是复数z与复数-2-i差的模,也就是动点Z与定点(-2,-1)间距离.这个方程表示的是到两点(+1,1),(-2,-1)距离相等的点的轨迹方程,这个动点轨迹是以点(+1,1),(-2,-1)为端点的线段的垂直平分线.

  (2)|z+i|+|z-i|=4;

  方程可以看成|z-(-i)|+|z-i|=4,表示的是到两个定点(0,-1)和(0,1)距离和等于4的动点轨迹.满足方程的动点轨迹是椭圆.

  (3)|z+2|-|z-2|=1.

  这个方程可以写成|z-(-2)|-|z-2|=1,所以表示到两个定点(-2,0),(2,0)距离差等于1的点的轨迹,这个轨迹是双曲线.是双曲线右支.

  由z1-z2几何意义,将z1-z2取模得到复平面内两点间距离公式d=|z1-z2|,由此得到线段垂直平分线,椭圆、双曲线等复数方程.使有些曲线方程形式变得更为简捷.且反映曲线的本质特征.

  例4  设动点Z与复数z= + i对应,定点P与复数p= + i对应.求

  (1)复平面内圆的方程;

  解:设定点P为圆心,r为半径,如图

  由圆的定义,得复平面内圆的方程|z-p|=r.

  (2)复平面内满足不等式|z-p|<r(r∈R+)的点Z的集合是什么图形?

  解:复平面内满足不等式|z-p|<r(r∈R+)的点的集合是以P为圆心,r为半径的圆面部分(不包括周界).利用复平面内两点间距离公式,可以用复数解决解析几何中某些曲线方程.不等式等问题.

(五)小结

  我们通过推导得到复数减法法则,并进一步得到了复数减法几何意义,应用复数减法几何意义和复平面内两点间距离公式,可以用复数研究解析几何问题,不等式以及最值问题.

(六)布置作业P193习题二十七:2,3,8,9.

 

探究活动

复数等式的几何意义

  复数等式 在复平面上表示以 为圆心,以1为半径的圆。请再举三个复数等式并说明它们在复平面上的几何意义。

       分析与解

  1.  复数等式 在复平面上表示线段 的中垂线。

  2.  复数等式 在复平面上表示一个椭圆。

  3.  复数等式 在复平面上表示一条线段。

  4.  复数等式 在复平面上表示双曲线的一支。

  5.  复数等式 在复平面上表示原点为O 构成一个矩形。

  说明 复数与复平面上的点有一一对应的关系,如果我们对复数的代数形式工(几何意义)之间的关系比较熟悉的话,必然会强化对复数知识的掌握。


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