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椭圆及其标准方程1

2005年1月2日 来源:网友提供 作者:未知 字体:[ ]

教学目标

  1.掌握椭圆的定义,掌握椭圆标准方程的两种形式及其推导过程;
  2.能根据条件确定椭圆的标准方程,掌握运用待定系数法求椭圆的标准方程;
  3.通过对椭圆概念的引入教学,培养学生的观察能力和探索能力;
  4.通过椭圆的标准方程的推导,使学生进一步掌握求曲线方程的一般方法,并渗透数形结合和等价转化的思想方法,提高运用坐标法解决几何问题的能力;
  5.通过让学生大胆探索椭圆的定义和标准方程,激发学生学习数学的积极性,培养学生的学习兴趣和创新意识.


教学建议

教材分析

1.  知识结构

2.重点难点分析

  重点是椭圆的定义及椭圆标准方程的两种形式.难点是椭圆标准方程的建立和推导.关键是掌握建立坐标系与根式化简的方法.

  椭圆及其标准方程这一节教材整体来看是两大块内容:一是椭圆的定义;二是椭圆的标准方程.椭圆是圆锥曲线这一章所要研究的三种圆锥曲线中首先遇到的,所以教材把对椭圆的研究放在了重点,在双曲线和抛物线的教学中巩固和应用.先讲椭圆也与第七章的圆的方程衔接自然.学好椭圆对于学生学好圆锥曲线是非常重要的.

  (1)对于椭圆的定义的理解,要抓住椭圆上的点所要满足的条件,即椭圆上点的几何性质,可以对比圆的定义来理解.

  另外要注意到定义中对“常数”的限定即常数要大于 .这样规定是为了避免出现两种特殊情况,即:“当常数等于 时轨迹是一条线段;当常数小于 时无轨迹”.这样有利于集中精力进一步研究椭圆的标准方程和几何性质.但讲解椭圆的定义时注意不要忽略这两种特殊情况,以保证对椭圆定义的准确性.

  (2)根据椭圆的定义求标准方程,应注意下面几点:

  ①曲线的方程依赖于坐标系,建立适当的坐标系,是求曲线方程首先应该注意的地方.应让学生观察椭圆的图形或根据椭圆的定义进行推理,发现椭圆有两条互相垂直的对称轴,以这两条对称轴作为坐标系的两轴,不但可以使方程的推导过程变得简单,而且也可以使最终得出的方程形式整齐和简洁.

  ②设椭圆的焦距为 ,椭圆上任一点到两个焦点的距离为 ,令 ,这些措施,都是为了简化推导过程和最后得到的方程形式整齐、简洁,要让学生认真领会.

  ③在方程的推导过程中遇到了无理方程的化简,这既是我们今后在求轨迹方程时经常遇到的问题,又是学生的难点.要注意说明这类方程的化简方法:①方程中只有一个根式时,需将它单独留在方程的一侧,把其他项移至另一侧;②方程中有两个根式时,需将它们分别放在方程的两侧,并使其中一侧只有一项.

  ④教科书上对椭圆标准方程的推导,实际上只给出了“椭圆上点的坐标都适合方程 “而没有证明,”方程 的解为坐标的点都在椭圆上”.这实际上是方程的同解变形问题,难度较大,对同学们不作要求.

  (3)两种标准方程的椭圆异同点

  中心在原点、焦点分别在 轴上, 轴上的椭圆标准方程分别为: .它们的相同点是:形状相同、大小相同,都有 .不同点是:两种椭圆相对于坐标系的位置不同,它们的焦点坐标也不同.

  椭圆的焦点在 轴上 标准方程中 项的分母较大;

  椭圆的焦点在 轴上 标准方程中 项的分母较大.

  另外,形如 中,只要 同号,就是椭圆方程,它可以化为

  (4)教科书上通过例3介绍了另一种求轨迹方程的常用方法——中间变量法.例3有三个作用:第一是教给学生利用中间变量求点的轨迹的方法;第二是向学生说明,如果求得的点的轨迹的方程形式与椭圆的标准方程相同,那么这个轨迹是椭圆;第三是使学生知道,一个圆按某一个方向作伸缩变换可以得到椭圆.

教法建议

  (1)使学生了解圆锥曲线在生产和科学技术中的应用,激发学生的学习兴趣.

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