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垂直于弦的直径

2005年10月21日 来源:网友提供 作者:未知 字体:[ ]

第一课时 垂直于弦的直径(一)

  教学目标:

  (1)理解圆的轴对称性及垂径定理的推证过程;能初步应用垂径定理进行计算和证明;

  (2)进一步培养学生观察问题、分析问题和解决问题的能力;

  (3)通过圆的对称性,培养学生对数学的审美观,并激发学生对数学的热爱.

  教学重点、难点:

  重点:①垂径定理及应用;②从感性到理性的学习能力.

     难点:垂径定理的证明.

  教学学习活动设计:

  

  (一)实验活动,提出问题:

  1、实验:让学生用自己的方法探究圆的对称性,教师引导学生努力发现:圆具有轴对称、中心对称、旋转不变性.

  2、提出问题:老师引导学生观察、分析、发现和提出问题.

  通过“演示实验——观察——感性——理性”引出垂径定理.

  (二)垂径定理及证明:

  已知:在⊙O中,CD是直径,AB是弦,CD⊥AB,垂足为E.

  求证:AE=EB, = =

  证明:连结OA、OB,则OA=OB.又∵CD⊥AB,∴直线CD是等腰△OAB的对称轴,又是⊙O的对称轴.所以沿着直径CD折叠时,CD两侧的两个半圆重合,A点和B点重合,AE和BE重合, 分别和 重合.因此,AE=BE, = = .从而得到圆的一条重要性质.

  垂径定理:垂直于弦的直径平分这条弦,并且平分弦所对的两条弧.

  组织学生剖析垂径定理的条件和结论:

   CD为⊙O的直径,CD⊥AB AE=EB, = = .

  为了运用的方便,不易出现错误,将原定理叙述为:①过圆心;②垂直于弦;③平分弦;④平分弦所对的优弧;⑤平分弦所对的劣弧.加深对定理的理解,突出重点,分散难点,避免学生记混.

  (三)应用和训练

  例1、如图,已知在⊙O中,弦AB的长为8cm,圆心O到AB的距离为3cm,求⊙O的半径.

  分析:要求⊙O的半径,连结OA,只要求出OA的长就可以了,因为已知条件点O到AB的距离为3cm,所以作OE⊥AB于E,而AE=EB= AB=4cm.此时解Rt△AOE即可.

  解:连结OA,作OE⊥AB于E.

  则AE=EB.

  ∵AB=8cm,∴AE=4cm.

  又∵OE=3cm,

  在Rt△AOE中,

   (cm).

  ∴⊙O的半径为5 cm.

  说明:①学生独立完成,老师指导解题步骤;②应用垂径定理计算:涉及四条线段的长:弦长a、圆半径r、弦心距d、弓形高h

  关系:r = h+d; r2 = d2 + (a/2)2

  例2、 已知:如图,在以O为圆心的两个同心圆中,大圆的弦AB交小圆于C、D两点.求证AC=BD.(证明略)

  说明:此题为基础题目,对各个层次的学生都要求独立完成.

  练习1:教材P78中练习1,2两道题.由学生分析思路,学生之间展开评价交流

  指导学生归纳:①构造垂径定理的基本图形,垂径定理和勾股定理的结合是计算弦长、半径、弦心距等问题的常用方法;②在圆中解决弦的有关问题经常作的辅助线——弦心距.

  (四)小节与反思

  教师组织学生进行:

  知识:(1)圆的轴对称性;(2)垂径定理及应用.

  方法:(1)垂径定理和勾股定理有机结合计算弦长、半径、弦心距等问题的方法,构造直角三角形;(2)在因中解决与弦有关问题经常作的辅助线——弦心距;(3)为了更好理解垂径定理,一条直线只要满足①过圆心;②垂直于弦;则可得③平分弦;④平分弦所对的优弧;⑤平分弦所对的劣弧.

  (五)作业

  教材P84中11、12、13.

第二课时 垂直于弦的直径(二)

  教学目标:

  (1)使学生掌握垂径定理的两个推论及其简单的应用;

  (2)通过对推论的探讨,逐步培养学生观察、比较、分析、发现问题,概括问题的能力.促进学生创造思维水平的发展和提高

  (3)渗透一般到特殊,特殊到一般的辩证关系.

  教学重点、难点

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