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两圆的公切线

2005年11月22日 来源:网友提供 作者:未知 字体:[ ]
第一课时 两圆的公切线(一)

  教学目标:

  (1)理解两圆相切长等有关概念,掌握两圆外公切线长的求法;

  (2)培养学生的归纳、总结能力;

  (3)通过两圆外公切线长的求法向学生渗透“转化”思想.

  教学重点:

  理解两圆相切长等有关概念,两圆外公切线的求法.

  教学难点:

  两圆外公切线和两圆外公切线长学生理解的不透,容易混淆.

  教学活动设计

  (一)实际问题(引入)

  很多机器上的传动带与主动轮、从动轮之间的位置关系,给我们以一条直线和两个同时相切的形象.(这里是一种简单的数学建模,了解数学产生与实践)

  (二)两圆的公切线概念

  1、概念:

  教师引导学生自学.给出两圆的外公切线、内公切线以及公切线长的定义:

  和两圆都相切的直线,叫做两圆的公切线.

 

  (1)外公切线:两个圆在公切线的同旁时,这样的公切线叫做外公切线.

  (2)内公切线:两个圆在公切线的两旁时,这样的公切线叫做内公切线.

  (3)公切线的长:公切线上两个切点的距离叫做公切线的长.

  2、理解概念:

  (1)公切线的长与切线的长有何区别与联系?

  (2)公切线的长与公切线又有何区别与联系?

  (1)公切线的长与切线的长的概念有类似的地方,即都是线段的长.但公切线的长是对两个圆来说的,且这条线段是以两切点为端点;切线长是对一个圆来说的,且这条线段的一个端点是切点,另一个端点是圆外一点.

  (2)公切线是直线,而公切线的长是两切点问线段的长,前者不能度量,后者可以度量.

  (三)两圆的位置与公切线条数的关系

  组织学生观察、概念、概括,培养学生的学习能力.添写教材P143练习第2题表.

  (四)应用、反思、总结

  1已知:⊙O1、⊙O2的半径分别为2cm和7cm,圆心距O1O2=13cm,AB是⊙O1、⊙O2的外公切线,切点分别是A、B.求:公切线的长AB.

  分析:首先想到切线性质,故连结O1A、O2B,得直角梯形AO1O2B.一般要把它分解成一个直角三角形和一个矩形,再用其性质.(组织学生分析,教师点拨,规范步骤)

  解:连结O1A、O2B,作O1A⊥AB,O2B⊥AB.

  过 O1作O1C⊥O2B,垂足为C,则四边形O1ABC为矩形,

  于是有

  O1C⊥C O2,O1C= AB,O1A=CB.

  在Rt△O2CO1和.

  O1O2=13,O2C= O2B- O1A=5

  AB= O1C= (cm).

  反思(1)“转化”思想,构造三角形;(2)初步掌握添加辅助线的方法.

   2*如图,已知⊙O1、⊙O2外切于P,直线AB为两圆的公切线,A、B为切点,若PA=8cm,PB=6cm,求切线AB的长.

  分析:因为线段AB是△APB的一条边,在△APB中,已知PA和PB的长,只需先证明△PAB是直角三角形,然后再根据勾股定理,使问题得解.证△PAB是直角三角形,只需证△APB中有一个角是90°(或证得有两角的和是90°),这就需要沟通角的关系,故过P作两圆的公切线CD如图,因为AB是两圆的公切线,所以∠CPB=∠ABP,∠CPA=∠BAP.因为∠BAP+∠CPA+∠CPB+∠ABP=180°,所以2∠CPA+2∠CPB=180°,所以∠CPA+∠CPB=90°,即∠APB=90°,故△APB是直角三角形,此题得解.

  解:过点P作两圆的公切线CD

  ∵ AB是⊙O1和⊙O2的切线,A、B为切点

  ∴∠CPA=∠BAP  ∠CPB=∠ABP

  又∵∠BAP+∠CPA+∠CPB+∠ABP=180°

  ∴ 2∠CPA+2∠CPB=180°

  ∴∠CPA+∠CPB=90°  即∠APB=90°

  在 Rt△APB中,AB2=AP2+BP2

  

  说明:两圆相切时,常过切点作两圆的公切线,沟通两圆中的角的关系.

  (五)巩固练习

  1、当两圆外离时,外公切线、圆心距、两半径之差一定组成( )

  (A)直角三角形 (B)等腰三角形 (C)等边三角形 (D)以上答案都不对.

  此题考察外公切线与外公切线长之间的差别,答案(D)

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